内外表面角在自发润湿过程中的相互作用
摘要
现实世界中的表面常可建模为一系列具有不同圆润度的边缘、棱角、凹陷或凸起。这些特征会呈现各自独特的自发润湿行为，包括钉扎接触线、细流状润湿或尖点润湿。当这些润湿特性在邻近区域同时存在时（这在应用场景中十分常见），它们会产生相互作用，从而导致表面整体润湿图案的改变。因此，理解这些相互作用何时发生、影响程度如何，以及润湿行为会如何偏离孤立表面特征的润湿模式，就成为了极具研究价值的课题。
本研究通过实验与理论相结合的方式，探讨了具有90°（外凸）和270°（内凹）锐角的相邻棱角之间毛细相互作用。研究表明：即使相隔数倍毛细长度的距离，凸出外角的自发润湿仍会受到凹陷内角的影响；而内角的润湿过程基本不受外角干扰，除非两者间距远小于毛细长度。对于接触角达90°的情况，研究团队对内角处最终形成的接触线形状进行了精确测量，并建立了相应的理论模型。
1 引言
许多润湿应用都涉及几何形状复杂的表面。这些表面可能是有意设计的，例如凹版印刷或车辆外部的水管理；也可能是无意形成的，如粗糙的金属铸件或其他固有的制造特征或复杂的几何结构。组件随后必须以某种方式进行追溯性涂层或处理，以建立所需的表面光洁度。因此，从物理和理论层面理解由宏观表面特征引发的润湿现象，对于预测何时需要在涂层和/或润湿工艺中考虑这些特征至关重要。本研究结果表明，在某些情况下，这类特征相互作用会完全抑制表面润湿现象。
过去50年常被研究的几何结构是具有可变间距的垂直圆柱棒。从这种几何形态出发，存在着从单根纤维到天然纤维、再到纤维束直至织物的平滑过渡。这种转变展示了如何通过简单几何元素的组合来构建和描述复杂的真实世界表面。尽管垂直圆柱体呈圆形，但其接触点会形成尖锐转角，这对润湿现象产生主要影响。因此，理解尖锐垂直转角的润湿行为对于掌握简单及复杂表面的润湿物理机制至关重要。
对于天然纤维和织物而言，除了纤维的宏观棒状形态外，微米级和纳米级特征也会影响润湿效果。这类微纳尺度表面特征的影响通常通过柱状结构或通用粗糙元模型来模拟，采用宏观接触角或接触角滞后等修正参数，而不改变接触线本身的润湿现象。另一方面，纳米缺陷和各向异性特征（如沟槽状结构）可能引发钉扎效应，从而局部操控接触线。由于钉扎缺陷会掩盖其他润湿现象，本研究通过使用高润湿性硅油作为工作流体来规避此类干扰。
现有文献在报道棒状元件润湿现象时，通常仅给出液面上升高度的离散点数据或平均值。然而本研究对整个接触线轮廓进行了全面检测。通过这些额外数据，可以获得不同特征（本研究中为转角）处及特征间相互作用的物理机制信息。例如文献虽然从理论上描述了液体在内转角附近的曲率特征，但由于缺乏定量数据，仅能对实验结果进行定性或点状比对。为获取整个接触线的定量数据，本研究采用平面壁样品以实现实际接触线轮廓的计算。
值得注意的是，许多真实表面都可以通过不同锐角或圆角连接的平面壁集合来建模。这种建模方式与用圆柱纤维集合模拟织物的原理相同。基于这种类比，本研究通过分析由两个锐角连接的平面壁构成的基础几何形态，可以增进对这类复杂表面家族润湿行为的理解。
除研究接触线形状外，本研究还采用与波诺马连科等人[7]相似的方法追踪拐角处液体动态——重点分析液体上升的初始阶段而非后期阶段，该现象在以往众多关于拐角润湿的研究中均未被考量。
2 实验细节
图1 本研究所用样本的几何结构。毛细管长度(lσ)约为1.48mm。
本研究采用2024铝合金（AlCuMg2）制成的样品，经铣削加工形成两个不同高度的平面，在两平面间形成具有90°和270°转角的垂直台阶（见图1）。图1中标注为”台阶尺寸”的长度是实验过程中通过更换不同样品进行调控的几何参数。图1展示了与实验结果相关的所有长度尺寸。除台阶高度根据图1表格进行变化外，样品其他尺寸均远大于毛细长度，从而确保样品其他部位不会影响中间两个转角的润湿行为。
鉴于本研究重点关注宏观表面特征效应，选用硅油（聚二甲基硅氧烷，品牌：ELBESIL SILIKONÖL B）作为润湿液体。该液体具有低表面张力（σ=20.6 mN/m）和接触角（θ<20°）的特性，几乎能完全避免钉扎效应。其动力粘度μ为20厘斯，通过液体密度ρ和重力加速度g计算得到的毛细长度lσ（=√(σ/ρg)）约为1.48mm。
样品通过线性电机（PI LMS-180 408）浸入液体，该电机配有低摩擦气动缸（AirpotCorp AirpelPlus MP16S420NX）以平衡电机滑台和样品夹具的重量。浸入速度控制在0.01毫米/秒以避免惯性效应，使液体能在样品表面自发上升。浸没过程中采用白光自下而上照明样品，同时用黑白相机（pco edge 5.5）自上而下拍摄。光源（Constellation 120 E）发出的光线经样品直接反射进入相机，而接触线附近的上升液体通过折射光线在图像中形成可见阴影。虽然这种照明方式适用于样品大部分区域，但由于液体折射和样品表面纹理造成的反光干扰（图2），某些区域的接触线仍难以辨识。因此本研究采用人工接触线判读方法，通过多人重复测量取平均值来部分避免主观误差。为获取相机视角下接触线轮廓的定量数据，采用后处理算法将相机图像投影到表面虚拟模型上，从而重建接触线的三维空间位置。
3 结果与讨论
3.1 两角处的普遍现象
图2展示了在15mm（约10倍σ长度）台阶上形成的最终接触线，该画面拍摄于图1中虚线框标示的区域。本实验中的样品安装方向与图1示意图呈水平镜像。为便于图像对比，图2中的摄像机影像已作镜像处理。图像上半部分呈现样品的三个前表面，左下角三角形区域及右侧图像底部的三角形区域则显示了透明液池表面，透过该表面可观察到样品的润湿部分及其他折射与反射现象。在干燥样品表面与液池之间，可见样品底部呈现以暗色为主的液体弯月面。由于光线折射作用，弯月面在270°后角处显示出若干白色线条及明亮区域。即便经过图像增强处理，左侧样品表面的对比度仍然较低。
图2 最终接触线位于15mm步长处。与图1中的蓝色虚线框进行比较。
虽然照片中的接触线呈现倾斜状态，但将摄像机影像与图1的透视示意图对比时可见，实际接触线走向与理论预期相符。弯月面形态的细微差异源于拍摄角度与光照条件的综合影响，这些因素在示意图中未完全体现。值得注意的是，右侧液池表面形成的三角形反光区清晰地反映出样品底部的润湿边界，这为接触线三维重构提供了关键光学信息。可以明显看出，这种模式以及接触线轮廓的三角形特征源于透视视角，实际上代表沿样品表面的水平线。根据对垂直壁面润湿现象的充分理解，我们预期会在静态弯液面顶部看到水平接触线。虽然这种基本行为在平坦壁面上可以观察到，但接触线在靠近样品两个转角处不再保持直线。在内侧270°转角处（右侧），接触线几乎垂直上升，这种现象在本文中称为”细流”；而在外侧90°转角处（左侧），则可观察到接触线下陷，这被称为”尖点”。
图3 关于细流现象的两种解释。(a)将角落视为一组嵌于壁面间的圆形毛细管，其上升高度与局部细流上升高度相对应。(b)水平液面曲率导致负毛细压力，从而牵引液体上升。
内角处形成细流的现象可通过图3所示的两个模型进行解释。图3(a)展示的第一个模型由波诺马连科等人提出，该模型假设细流在每一点的行为都类似于填充在壁面间隙（绿色圆圈所示）的毛细管中的液体。由于毛细管朝向角落逐渐缩小，毛细上升高度随之增加（源于更低的拉普拉斯压力），最终在角落形成无限高度的细流（蓝色线条）。该理论仅考虑液体的垂直曲率，而图3(b)中唐提出的理论则仅考虑液体水平曲率，假设液体在壁面间形成水平弧线（绿色线条），这些弧线在角落产生负毛细压力使液体上升。随着弧线半径随高度增加而减小，压力差不断增大，同样导致角落处出现无限上升现象（蓝色线条）。
康库斯与芬恩研究表明，只有当液体接触角(θ)与给定角落开口角(α/2)之和小于90°（即θ + (α/2) < 90°）时，才会出现无限细流上升现象。本研究中内角开口角为90°，因此只有当接触角低于45°时才会发生无限上升，这一结论已获塔曼纳·古鲁穆尔蒂等人的数值验证。
在初步实验中，当使用单乙二醇作为液体时，根据样品清洁方法的不同，部分实验观测到接触角超过45°的情况。而对于水与污染样品的组合，则无法再观察到无限细流上升现象。由于这两种液体存在强钉扎效应，它们未被用于本文讨论的最终实验。
图3所示的两个模型均未考虑所谓的康库斯-芬恩准则。图3(a)模型因角落处存在无限小的毛细管，预测所有接触角高于90°时都会出现无限上升；而图3(b)模型在45°阈值处将其极限从+∞转为−∞，此时该模型预测液体表面将呈现平坦状态。
图4 一幅示意图展示了两个弯液面在拐角处相遇但未形成尖角的情况（绿色线条），以及预期中带有尖角的接触线轮廓（蓝色线条）。
图4更详细地展示了外角处的接触线轮廓。若该转角对两个表面接触线交汇点处的接触线不产生影响，曲率半径（绿色线条）将变为零，这将导致液体承受无限大的毛细压力。这种现象在物理上不可能存在，因而会形成尖点（蓝色线条），产生一个二维的液体表面的曲率，平衡毛细管压力与重力。
3.2 两个角落的互动
3.2.1 接触线轮廓
图5显示了阶梯面上测量的接触线轮廓，位于左侧外角与右侧内角之间。样品的左右两侧面与绘图面垂直，因此在本图中不可见。所有长度均除以毛细长度以提供无量纲数据。图表以左侧尖点（外角）为基准对齐，该点被定义为面位置零点。垂直虚线标示了不同台阶尺寸对应的内角位置。误差棒表示对每个样品进行五次测量后计算得出的一个标准偏差。虚线展示了第二组后处理结果，用于比较手动接触线检测导致的系统误差。图例中标注为”ref.”的曲线未显示出系统性差异。为清晰起见，左侧小图展示了五个最小台阶尺寸的接触线轮廓，但采用了扩展的x轴坐标。
图5 所有样本尺寸下两角间面部接触线的分布图。图表均以左侧外角为基准对齐，所有长度均除以毛细长度。左侧小图展示了最小步长下的接触线分布，但采用了扩展的x轴比例。
对于最大分析台阶尺寸（约10lσ），左侧尖点与右侧细流看似互不影响，尽管其间可见极其微弱的S形弯曲，其幅度约等于测量离散度的一个标准偏差。所有较小台阶尺寸下，尖点与细流均呈现明显相互作用，通过直接连接二者的S形曲率相互关联。随着台阶尺寸减小，尖点深度也随之降低。
当台阶尺寸约1lσ或更小时，左侧小图中可见新现象：虽然左侧样品面（对比图2）仍存在尖点（图5中不可见），但接触线会固定在外角处并沿垂直方向延伸至特定高度，随后脱离边缘形成细流，且不呈现较大台阶尺寸时的S形特征。在约1lσ时，测量结果在外角固定与S形接触线之间呈现波动差异；而约0.33lσ时，所有测量均明确显示外角固定现象。若台阶尺寸更小，接触线将在整个视场内保持外角固定状态，这在0.33lσ以下的台阶尺寸中可被观测到。由于相机分辨率限制和实验样品缺陷，拉伸图中的接触线轮廓呈现一定噪点。
3.2.2 尖点行为
在图6中，观测到的无量纲凹槽深度与无量纲台阶尺寸呈对应关系。凹槽深度定义为凹槽尖端与左右两侧平均接触线高度之间的垂直距离。可以看出，当台阶尺寸趋近于零时，无量纲凹槽深度也随之归零。这将导致试样左侧形成水平接触线，该接触线随后转为垂直状态并固定在外角处，随角部上移直至分离形成溪流（对比图5中约0.33lσ处的现象）。Thammanna Gurumurthy等人[29]通过数值模拟在沟槽几何结构中获得了类似结果。随着台阶尺寸增大，凹槽深度也随之增加。由图6可推测，当台阶尺寸无限增大时，最大凹槽深度将趋近于某个渐近值。
图6 不同步长下尖角低于平均接触线高度的深度。绿色线条显示通过Surface Evolver软件计算的0°和20°接触角上限。红色虚线表示由公式(1)模型预测的尖角深度，其中下限数值选择为cmax。所有长度均用毛细长度进行归一化处理。
为验证这一点，研究采用了Surface Evolver软件—该软件通过最小化自由能来计算静态液体形态[30]。需注意的是，由于该软件仅能求解静态液面形状，无法模拟存在无限上升溪流的完整台阶几何结构。因此计算域设置为外角结构，两个方向的壁面长度均为50mm（约33.78lσ），以消除边界效应来分析可能形成的最大凹槽深度。垂直于壁面方向的液池宽度设为30mm（约22.27lσ）。为确保计算精度，角部网格的最大最终单元长度设为100μm，表面迭代计算直至最后七步的变异系数小于10^-7。为反映硅油在试样上接触角的不确定性，壁面接触角在0°至20°间变化。计算结果显示：接触角为0°和20°时，最大凹槽深度分别为0.487±0.0008lσ和0.408±0.0006lσ，这些数值在图6中以绿色水平线标示。这验证了凹槽深度存在渐近值的假设，同时表明约10lσ的最大台阶尺寸足以获得最深凹槽的极限值。
为预测不同台阶尺寸下的凹槽深度，研究假设具有渐近深度极限的凹槽会因溪流导致的接触线斜率增加而被抬升。作为参照，采用了未受凹槽影响的溪流斜率∂h/∂x。
（1）
其中h表示接触线的高度，x则沿着一面通向尖端的墙壁方向；而cmax对应着可能的最大尖端深度。图6绘制了使用Surface Evolver软件0.408 lσ极限值作为cmax的公式(1)。可以看出，除右侧第二个台阶尺寸与左侧第二个台阶尺寸存在一定偏差外，该模型能很好地拟合实测尖端深度。由于单个台阶尺寸出现此类偏差缺乏物理依据，推测这种差异源于校准过程中的不精确性。
3.2.3 细流行为
图7 两角之间接触线在表面的分布情况。仅展示大于约0.166倍毛细管长度的样本，因为更小的步长会导致外角处完全钉扎及细流形状畸变（对比左侧图5）。所有曲线均以内角为基准对齐，即曲线右端对应无量纲表面位置10。所有长度均以毛细长度为基准进行归一化处理。
图7展示的数据与图5相同，但未显示极小时步长下外角处完全钉扎的接触线，并将液面位置与内角在数值10处对齐（图表右侧）。各外角位置以垂直虚线标出。通过这种数据呈现方式可以明显看出，所有细流均呈现相同形态，与步长无关。这一规律甚至大致适用于0.33lσ步长的情况——该细流在外角处保持垂直钉扎状态，直至与较大步长的静态细流形态相交。此时接触线脱离外角，转而遵循与其他步长相同的细流形态。由此可见，靠近内角处的细流基本形态与步长无关，应可通过普适函数进行描述。波诺马连科等人采用图3(a)所示的毛细管模型来描述细流形态。该理论假设在角壁之间适配半径为r的圆形毛细管，并通过相应垂直曲率的拉普拉斯压力与重力的平衡，计算这些毛细管的上升高度。由此得出公式(2)，表示上升高度h与半径r、接触角θ、表面张力σ、密度ρ及重力加速度g的函数关系：
（2）
玻璃管中的液面上升高度被用作虚拟管接触墙位处的细流上升高度。图8中将所得细流形态与测量数据进行了对比。针对所研究的270°内角，玻璃管半径r设定为沿墙面从拐角到水平接触线的距离。
布拉德与加博齐对间距为w的平行壁面间弯液面形态进行了数值模拟，并报告了最深弯液点相对于使用公式(3)计算的平均高度的位置。
（3）
公式(3)假设壁面平行而非圆管结构，可如公式(2)般用于描述液流形态—这一方法已被奥布莱恩等人采用。该式中采用壁面垂直间距w(=2x=2r)作为参数，当公式(2)与(3)应用于相同转角几何结构时，会导致内角处液流形态差异。
图8 接触线在约10倍毛细长度（lσ）阶跃处的形态及其与接触角为0°时的不同关系曲线。所有结果均叠加了静态弯液面上升高度作为基准偏移量（在表面位置零点处可见）。
为对比管式与壁面上升表达式所得结果，图8中将公式(2)标注为”波诺马连科理论”，公式(3)标注为”壁面理论”。由于这些解析方程获得的平均高度h仅确定位于弯月面最低点与接触线之间，且其相对位置随表面形态变化，故在弯月面高度的长度尺度上存在固有误差。为修正此误差，布拉德等人通过数值结果拟合出经验方程，得到平行壁间弯月面最低点的表达式，即图8中标注”布拉德修正”的公式(4)。显然该修正方程对当前研究的壁间距分析至关重要，因其接触线高度与公式(3)预测值存在显著差异：
（4）
图3(b)中的模型在图8中以”水平曲率”形式绘制，并由公式(5)给出：
（5）
在方程(5)中，采用从拐角到接触线的水平距离x来描述水平方向的曲率半径。虽然当接触角为0°时，方程(3)和(5)的曲线完全重合，但如后续章节”两拐角处的普遍现象”所述，在较大接触角情况下二者存在差异。方程(3)预测所有低于90°的接触角都会形成无限延伸的细流，而方程(5)则预测：低于45°接触角形成无限细流，45°时形成平坦液面，更高接触角时则形成负无限细流。
图3中的两个模型都只反映了实际物理问题的一半。图3(a)所示的毛细管或平行壁面上升模型仅考虑了液体的垂直曲率。在靠近拐角处细流倾斜度急剧增大的区域，细流的垂直曲率变得极小，此时仅存的曲率来自水平方向。而图3(b)的模型虽然考虑了这种水平曲率，却忽略了远离拐角区域的垂直曲率。
为区分细流的水平与垂直曲率，可以评估细流相对于水平面的倾斜角度，该角度记为α。
（6）
该模型采用负号表示，以确保在拐角距离x减小时，随着溪流高度h的增加能得出正角度。简单地组合方程(2)、(3)或(4)与方程(5)，使用cos(α)和sin(α)，甚至采用cos(α)²和sin(α)²来保持权重和为1的做法并不合适——因为对所得微分方程的数值分析会产生高度不规则的溪流形状，这似乎源于微分方程存在多个或无限多个有效解。当方程未经加权直接相加时也会出现同样现象，且接触角会根据α值分别采用前视表观接触角或俯视表观接触角。
为此，研究人员开发了一个新方程，将图3中的两个模型假设合并为仅存在唯一有效解的单一微分方程。推导统一方程的第一个约束条件是：对于270°内角，从当前壁面位置x到拐角平分线（45°平面）的垂直距离始终等于壁面位置本身，如图9中洋红色标注所示。第二个约束涉及沿溪流法线方向计算各液体薄片的上升高度，图9中用绿色标示了三个此类薄片。这些薄片指向液体的主曲率方向。将接触线沿线第二曲率纳入溪流计算的测试表明，其对溪流形状的影响可忽略不计，这支持了主曲率液体薄片模型。
图9 图中展示了细流三个垂直于液面的液体切片。每个切片的壁面开口角度以蓝色标示。角落角平分线及与壁面垂直的连接线（其长度始终等于对应壁面位置x）以品红色显示。
如第一约束条件所述，每个薄片都位于距离为x的两壁面之间。由于倾斜角度的差异（如图9蓝色标注所示），这些薄片在拐角两壁面间会形成不同夹角。垂直薄片感知到的是两个开口角为0°的无限平行壁面，该开口角随倾斜度增加而增大，最终使壁面交汇。当薄片转为水平时，开口角达到90°。所有薄片在两壁面间的夹角均等于α。
（7）
当α=0°时（远离拐角处），方程(7)退化为方程(3)；当α=90°时（接近拐角处），该方程则等同于方程(5)。方程(7)是一个一阶非线性常微分方程（当用方程(6)替代α时），作者尚未发现其解析解的存在，因此需要通过数值方法求解，该方程在此过程中表现出稳定的数值特性。
与方程(3)类似，方程(7)描述的是平均高度h—其在液体弯月面中的相对位置会随表面形状而变化。为了应用Bullard等人提出的经验高度修正项，研究者将方程(4)与方程(3)进行了对比分析。可以看出，除增加了一个经验修正项外，方程(4)与方程(3)完全一致。这个经验修正项被引入方程(7)以获得
（8）
如图8所示，该曲线被标记为”统一方程”。从技术角度而言，修正项仅适用于遵循图3(a)模型的那部分细流。由于在拐角附近（此处图3(b)模型起主导作用）修正项产生的偏移量趋近于零，因此该方程中省略了修正项的进一步混合处理。
图8中，方程(4)与(8)呈现为单一曲线。当接触角不同时，两个方程间的差异开始显现。
图10 在不同接触角下，采用固定偏移值的方程(8)计算结果对比。
与未修正的方程(3)类似，方程(4)预测所有低于90°的接触角都会产生无限上升的细流；而方程(8)则是研究者们首次提出的满足Concus-Finn准则的细流形态描述方程。该方程准确预测出：接触角低于45°时细流会无限上升，高于45°时则呈现有限上升高度，并在接触角达到90°时趋近于平整液面。图10展示了方程(8)在不同接触角下的计算结果。虽然45°以上接触角对应的有限上升高度在定性层面与初步实验观测结果相符，但研究者们未能实现超过45°的可重复接触角实验数据，因而无法将实际上升高度与方程(8)的理论值进行定量比较。
3.3 细流动力学
实验中追踪细流顶端的上升过程以计算其上升速度。本研究将所有长度除以毛细长度lσ实现无量纲化，时间则通过除以特征时间tσ=μ/√(gρσ)进行无量纲处理，其中μ为液体动力粘度，ρ为密度，σ为表面张力，g为重力加速度。将每时间步长的位移除以lσ、时间步长除以tσ，等效于将实测细流速度乘以μ/σ以获得无量纲速度。
原始测量数据存在噪声导致速度波动，因此需进行后处理以降低波动。首先采用三次样条插值处理原始数据，随后计算样条导数并以固定时间步长（相机原始帧率249.986 fps的两倍）均匀采样。接着对重采样数据应用移动平均法，使用相当于原始帧率四分之一的窗口宽度（对应0.5秒时长）进行平滑。距离数据集边界小于半个平均窗口的数据被剔除。图11显示最终速度曲线，呈现细流顶端速度随时间递减的趋势。
图11 所有样品在自发润湿过程中液丝尖端的无量纲速度。
除最小两种台阶尺寸外，细流顶端上升速度与台阶尺寸无关。这一结果出人意料，因为图7显示当台阶尺寸∼≤lσ时，细流在拐角附近被截断形成不对称形状。与图3(b)模型对比时，水平液层需通过曲率变化实现单侧接触角与另一侧钉扎拐点位置的共存。由于曲率是细流运动的唯一驱动力，观测到的上升行为表明：仅顶端邻近区域对上升过程起主导作用，细流其余部分的影响可忽略。此外，细流顶端始终持续上升（如Ponomarenko等人[7]预测），持续提供向上驱动力。
小台阶尺寸下细流上升速度较低且波动更显著。速度波动加剧不仅源于测量噪声，更因表面粗糙度与细流的交互作用增强—粗糙度可局部阻滞细流运动后又使其加速。但为解释极小台阶尺寸下的低速现象，需假设细流顶端自身发生了某种变化。
针对这一观测现象，研究人员建立了一个极简模型：假设溪流尖端附近区域的尺寸与最终溪流宽度相当。由于溪流基部上方的宽度变化较小（对比图7），在观测样本区域（上升高度小于六倍lσ）内，溪流尖端尺寸被假定为基本恒定。考虑到上升起始阶段的溪流尖端尺寸小于最终溪流基部宽度，模型假设溪流尖端尺寸从上升伊始就保持恒定。为简化模型，仅选取一个具有代表性的水平溪流切片来体现尖端受力平衡。该模型假定未受干扰溪流与不对称钉扎溪流所受摩擦力大小相近，且因溪流尖端宽度<lσ导致重力与表面力的比值小于1，故重力影响可忽略不计。最终模型通过比较未受干扰液层与钉扎液层的平均曲率，来估算溪流上升速度的衰减程度假设细流切面为理想圆弧。由于极微小台阶上细流尺寸与厚度过小，上升过程中细流宽度无法被可靠观测，因此必须视为未知量。自此可作出两种不同假设：既可假定右侧壁面细流尖端宽度恒定为d；亦可基于模型忽略壁面相互作用导致的摩擦力变化，将细流尖端整体润湿壁面长度2d设为恒定值。对于后者情况，当台阶尺寸s小于d时，右侧壁面接触线位置将调整为d*=2d−s。右侧壁面处细流尖端必须保持原始接触角，同时细流弧线需与外角钉扎点相接—该钉扎点的接触角未被定义。在此约束条件下，可根据右侧壁面宽度假设构建细流弧线，其半径由公式(9)描述：
（9）
或是一个没有钉扎边缘的对称弧，此时s等于d。表面曲率κ与r成反比，由此得出方程(10)作为比较极微小步长与较大步长下液丝上升速度的比例因子：
（10）
当步长s小于d（壁面处的恒定宽度）且θ角小于90°时，式(10)给出的比值始终大于1。乘以该系数后，较慢的上升速度应等于未受影响的上升速度。图12展示了采用d=0.1lσ和d=0.2lσ两种模型版本的液流速度数据。这两种d值均处于观察图7时可估算的范围内。尽管所建立的模型非常简单，且无法判定关于右侧壁面的两种假设中何者正确，但该模型能够通过采用合理的d值对两种版本的液流上升速度进行修正。
图12 应用新模型后，细流上升的无量纲速度随之增加。(a)采用右侧壁宽度d恒定为0.2lσ的假设，(b)采用总润湿长度恒定的假设，d值为0.1lσ
4 结论
当前研究观察了由三个面组成的样品自发润湿现象，这些面之间通过270°内角和90°外角相互分离。研究表明，当外角与内角之间的距离小于毛细长度时，细流会在外角处形成钉扎。此外，研究还量化了外角处尖点深度及其随台阶尺寸趋近于零而消失的规律，并提出了描述尖点深度与台阶尺寸普遍关系的经验公式。
图11展示了所有样品在自发润湿过程中细流尖端无量纲速度的变化。图12则展示了应用新模型后细流上升的无量纲速度：(a)采用恒定右侧壁宽d=0.2lσ的假设，(b)采用恒定总润湿长度、d值为0.1lσ的假设。
研究中，通过比较两种常见细流上升模型的预测结果，推导出了一个全新的统一物理模型。公式(8)描述的模型是首个能够定量预测0°至90°间所有接触角条件下细流形状的模型。研究还发现细流上升过程基本不受台阶尺寸影响，只有当台阶尺寸足够小以致能改变领先细流尖端形态时，才会影响细流上升速度。针对这一现象，研究者建立了两种版本的简易理论模型。尽管该模型具有经验性质，但能定量描述小台阶尺寸减缓细流上升的效应。
通过这些现象观察和针对不同现象建立的模型组，本研究为理解细流与尖点的形成机制及其在近距离下的相互作用提供了理论支持。